Обобщение одной теоремы Фугледе

Известная теорема Фугледе устанавливает, что если оператор гильбертова пространства коммутирует с нормальным, то он коммутирует и с сопряженным. В развитие полученных ранее обобщений этой теоремы в работе среди прочего устанавливается следующее.
Обозначим через $z_k$, $k=1,2\dots,$ однородные составляющие ряда Кемпбелла–Хаусдорфа. Пусть $A$ – комплексная банахова алгебра с единицей, $a,b\in A$, причем $\mathrm{Spec}(b)\subset\mathbb R$ и $\|\exp ita\|=o(|t|^{r/2})$ на вещественной оси при некотором натуральном $r$. Если при этом $[z_k(a,-ib),x]=0$ для всех $k$ и некоторого $x\in A$, то $(ada)^r x=(adb)^r x=0$. При $r=1$ и $[a,b]=0$ отсюда (с большим запасом) вытекает теорема Фугледе. Приводится пример, в котором $\|\exp ita\|,\|\exp itb\|=O(|t|^{1/2})$ и $a-ib$ принадлежит центру алгебры, тогда как $a+ib$ не принадлежит.