Локальные оценки экспоненциальных полиномов и их приложения к неравенствам типа принципа неопределенности

Статья посвящена неравенствам для экспоненциальных полиномов типа леммы Турана и их приложениям к различным теоремам единственности в гармоническом анализе типа принципа неопределенности. Доказана оценка максимума модуля экспоненциального полинома
$$ p(t)=\sum_{k=1}^n c_k e^{\lambda_k t} $$
$(c_k,\lambda_k\in\mathbb C)$ на интервале $E\subset\mathbb R$ через его максимум модуля на измеримом подмножестве $E\subset I$ положительной лебеговой меры:
$$ \sup_{t\in I}|p(t)|\le e^{\max|\mathrm{Re}\lambda_k|\mu(I)}\biggl\{\frac{A\mu(I)}{\mu(E)}\biggr\}^{n-1}\sup_{t\in E}|p(t)|. $$
В качестве приложений доказываются неравенство
$$ \|f\|^2_{L^2(\mathbb R)}\le Ae^{A\mu(E)\mu(\Sigma)}\biggl(\int_{\mathbb R\setminus E}|f|^2+\int_{\mathbb R\setminus\Sigma}|\hat f|^2\biggr), $$
справедливое для любой функции $f\in L^2(\mathbb R)$ и любых измеримых множеств $E$ и $\Sigma$ конечной лебеговой меры, и теорема о суммируемости малых (меньших 1/2) степеней логарифма модуля функции $f\in L^2(\mathbb T)$ с лакунарным по Зигмунду спектром.