О возмущениях собственных значений задачи Неймана вследствие вариации границы области

Построены старшие члены асимптотических разложений решений спектральной задачи Неймана в плоской области $\Omega_{\varepsilon}$, зависящей от малого параметра $\varepsilon$. Граница возмущается посредством малого неравномерного сдвига границы $\partial\Omega_0$ исходной области. Показано, что асимптотические формулы для собственного значения $\lambda(\varepsilon)$ различаются по виду в случае регулярного (гладкого) и нерегулярного (с уступами) возмущений. Используется метод сращиваемых асимптотических разложений, находятся пограничные слои вблизи уступов и вычисляются члены асимптотики $\lambda(\varepsilon)\sim\lambda_0+\varepsilon\lambda_1+\varepsilon^2(\lambda^1_2\ln\varepsilon+\lambda_2^0)$. Приводятся асимптотические формулы в случае трехмерной задачи.