Инвариантные решетки типа $\mathrm E_8$ и их группы автоморфизмов

Известно, что комплексная простая алгебра Ли $\mathcal L$ типа $E_8$ обладает двумя неприводимыми ортогональными разложениями. Первое из них – с группой автоморфизмов $2^{5+10}\cdot\mathrm{SL}(5,2)$ – связано с реализацией Томпсоном–Смитом простой спорадической группы $F_3$ в виде группы автоморфизмов 248-мерной $2^5\cdot\mathrm{SL}(5,2)$-инвариантной решетки. Второе разложение – с группой автоморфизмов $5^3:\mathrm{SL}(3,5)$ – построено А. В. Боровиком. В этой работе мы доказываем, что для инвариантных решеток $\Lambda$, ассоциированных с этими разложениями имеет место следующая альтернатива: либо $G=\mathrm{Aut}(\Lambda)$ является импримитивной линейной группой на $\mathcal L$ и $G$ имеет легко описываемую структуру; либо $\Lambda$ – решетка Томпсона–Смита и $G=\mathbb Z_2\times F_3$ (если рассматривается первое разложение), либо $2\cdot L_4(5)\triangleleft G\leq 2\cdot\mathrm{Aut}(L_4(5))$ (если рассматривается второе разложение). Мы также доказываем, что если $q=p^n$, $p>2$ – простое число, то группа $\mathrm{SL}(4,q)$ имеет ровно два неприводимых представления степени $N_q=\frac{(q-1)(q^3-1)}{2}$, и оба они рациональны. Если $\Lambda$ – $\mathrm{SL}(4,p)$-инвариантная решетка размерности $N_p$, то $2\cdot L_4(p)\triangleleft\mathrm{Aut}(\Lambda)\leq 2\cdot\mathrm{Aut}(L_4(p))$.