Разложения абелевых групп конечного ранга без кручения в прямые суммы неразложимых групп

Полностью доказана следующая теорема, которой решается проблема 67 из монографии Л. Фукса “Бесконечные абелевы группы”. Пусть $1<n_1<n_2<\dots<n_s<n$ – натуральные числа. Для того чтобы существовала абелева группа без кручения ранга $n$, допускающая разложения в прямую сумму $n_1$ неразложимых слагаемых, $n_2$ неразложенных слагаемых, $\dots, n_s$ неразложимых слагаемых, необходимо и достаточно, чтобы $n_1\ge K(n,n_s)$, где $K$ – натуральное число, определяемое следующим образом: а) $K=2$, есть $n_s\le[\frac{n}{2}]+1$; б) $K$ – наименьшее натуральное число, для которого $K\ge n/(2(n-n_s)-1)$, если $[\frac{n}{2}]+1<n_s<n-1$; в) $K$ – наименьшее натуральное число, для которого $K\ge\frac{n}{2}$, если $n_s=n-1$.