Обобщенное преобразование Фурье, теорема Титчмарша и почти аналитические функции

Стандартное преобразование Фурье действует (мультипликативно) в пространствах функций не более чем экспоненциального роста.
В статье строится обобщение преобразования Фурье, сопоставляющее функциям асимметричного роста $f$, $f\in\mathfrak A$,
\begin{align*} \mathfrak A=\{f\in C^\infty(\mathbf R):{}&\exists\,c>0\ \forall\,k\ \exists\,c_1,\ |f^{(k)}(-x)|\le c_1e^{-cp(x)},\ x<0, \\ &\forall\,c>0\ \forall\,k\ \exists\,c_1,\ |f^{(k)}(x)|\le c_1e^{cp(x)},\ x\ge0\}, \end{align*}
классы эквивалентности почти аналитических функций $F$, $F\in Q$,
\begin{align*} Q=\{F\in C^1(\overline{\mathbf C}_+)\cap c(\mathbf C_+):{}&\forall\,c<\infty\ \forall\,k\ \exists\,c_1,\ |\overline\partial f(z)|\le c_1(1+|\operatorname{Re}z|)^{-k}e^{-cp^*(\operatorname{Im}z)}, \\ &\exists\,c<\infty\ \forall\,k\ \exists\,c_1,\ |f(z)|\le c_1(1+|\operatorname{Re}z|)^{-k}e^{cp^*(\operatorname{Im}z)}\}, \end{align*}
по модулю идеала $J$ функций $F$, исчезающих на бесконечности,
$$ J=\{F\in Q:\forall\,c<\infty\ \forall\,k\ \exists\,c_1,\ |f(z)|\le c_1(1+|\operatorname{Re}z|)^{-k}e^{-cp^*(\operatorname{Im}z)}\}, $$
где $\lim\limits_{x\to\infty}p(x)/x=\infty$, а $p^*$ — преобразование Лежанцра функции $p$.
Сверточная алгебра $\mathfrak A$ оказывается изоморфной алгебре $Q/J$, а теоремы о сверточных уравнениях переформулируются и доказываются на языке почти аналитических функций.