Карлесоновы произведения Бляшке и алгебры Дугласа

В статье изучаются некоторые новые свойства алгебр Дугласа. Охарактеризованы семейства внутренних функций, совпадающих с множеством обратимых внутренних функций для некоторой алгебры Дугласа. Показано, что такую структуру имеют многие классы внутренних функций, встречающихся в анализе. Вводится и исследуется новый класс внутренних функций, принимающих значения по модулю равные единице на всех одноточечных долях Глисона. Также доказаны некоторые результаты о “тонких” (sparse) произведениях Бляшке, в частности решена одна из задач Guillory. Описаны алгебры Дугласа, в которых любая обратимая внутренняя функция удовлетворяет условию Карлесона, то есть представима в виде конечного произведения интерполяционных произведений Бляшке. Охарактеризованы алгебры Дугласа, для которых соответствующие алгебры Сарасона являются алгебрами Дирихле. Показано, что в каждом из этих классов алгебр есть максимальный элемент и что второй класс не содержится в первом.