Гомотопическая инвариантность некоторых геометрических свойств трехмерных многообразий неположительной кривизны

Наличие Cr-структуры на гладком многообразии означает разложение его на части, каждая из которых является слоением Зайферта, определяемое некоторым симплициальным пространством так, что на многообразии возникает действие пучка абелевых групп, слои которого – торы. Показано, что если на многообразии $M$ имеется Cr-структура $S$, то симплициальное пространство соизмеримых абелевых подгрупп его фундаментальной группы $\Gamma$ содержит непустое, связное и $\Gamma$-инвариантное подпространство $\mathcal E$. Роль такого подпространства аналогична роли нормальной абелевой подгруппы фундаментальной группы. В случае, когда многообразие $M$ трехмерно, замкнуто и имеет метрику неположительной секционной кривизны, упомянутое подпространство $\mathcal E$ позволяет восстановить Cr-структуру на $M$, причем метрика $M$ локально содержит евклидов сомножитель согласовано с Cr-структурой. Приведен пример трехмерного некомпактного многообразия с Cr-структурой и с полной метрикой ограниченной неположительной секционной кривизны, которая не согласована с Cr-структурой.