Двумерный оператор Шрёдингера с однородным магнитным полем и его возмущения периодическими потенциалами нулевого радиуса

В обзоре рассматриваются оператор Шредингера в $L^2(\mathbb R^2)$ вида $H_0=\frac12(i\nabla+\mathbf A)^2$, где $\mathbf A$ – векторный потенциал однородного магнитного поля, перпендикулярного плоскости $\mathbb R^2$, и его возмущения $H=H_0+V$ двоякопериодическими потенциалами $V$. Дано подробное изложение аналога теории Флоке–Блоха для $H$ (магнитно- блоховской теории) на языке разложения $H$ в прямой интеграл диагональных операторов с дискретным спектром; слои соответствующего разложения пространства состояний $L^2(\mathbb R^2)$ являются носителями попарно неэквивалентных примарных представлений группы магнитных трансляций. Рассмотрена явнорешаемая модель, в которой $V$ – сумма потенциалов нулевого радиуса; в этом случае подробно изучен спектр $H$ при условии рациональности потока магнитного поля через элементарную ячейку решетки периодов потенциала $V$. Кратко изложены физические мотивировки обсуждаемых результатов.