Алгебраические аспекты квантового уравнения Янга–Бакстера

В работе рассматриваются решения $S$ квантового уравнения Янга–Бакстера, удовлетворяющие уравнению $(g\operatorname{id}-S)(\operatorname{id}+S)=0$ (симметрии Гекке). Изучается задача об оценке размерностей однородных компонент “симметрической” и “внешней” алгебр, ассоциированных с симметриями Гекке. Доказывается (аналогичное классическому) соотношение между рядами Пуанкаре этих алгебр $\mathscr P_{+}(t)\mathscr P_{-}(-t)=1$. Если ряд Пуанкаре внешней алгебры $\mathscr P_{-}(t)$ является полиномом со старшим коэффициентом 1, устанавливается некоторая двойственность между однородными компонентами внешней алгебры. В этом же случае и при условии $\operatorname{deg}\mathscr P_{-}(t)=2$ проводится полная классификация симметрии Гекке. Определяются “квантовые” и “моноидальные” группы, обобщающие (различным образом) конструкцию групп $\rm{GL}$ и $\rm{SL}$, а также обобщенные алгебры Ли типа $g\ell$ и $s\ell$.