The property of unique continuation in certain spaces spanned by rational functions on compact nowhere dense sets

Уже более ста лет известно, что некоторые обширные классы функций, определенные на компактном нигде не плотном подмножестве $X$ комплексной плоскости и полученные как пределы аналитических функций в различных метриках, иногда могут наследовать свойство однозначного продолжения, характерное для аппроксимирующего семейства. Первый пример такого переноса единственности на $R(X)$, пространство функций, которые можно равномерно приблизить на $X$ последовательностью рациональных функций, полюса которых лежат за пределами $X$, был получен М. В. Келдышем примерно в 1940 году, но, по-видимому, так и не был опубликован. Годы спустя, в 1975 году, А. А. Гончар качественно улучшил пример Келдыша, и наша цель здесь — распространить этот результат на $R^p (X, dA)$, $p \geq 2,$. Очевидно, это — более широкое пространство; оно получется замыканием рациональных функций в $L^p(X, dA)$, где $dA$ обозначает двумерную меру Лебега, или площадь.