Пороговые аппроксимации функций от факторизованного операторного семейства

В гильбертовом пространстве $\mathfrak{H}$ рассматривается семейство самосопряженных операторов (квадратичный операторный пучок) $A(t)$, $t\in \mathbb{R}$, вида $A(t) = X(t)^* X(t)$, где $X(t) = X_0 + t X_1$. Предполагается, что точка $\lambda_0=0$ является изолированным собственным значением оператора $A(0)$ конечной кратности. Пусть $F(t)$ — спектральный проектор оператора $A(t)$ для промежутка $[0,\delta]$. На основе аппроксимаций для $F(t)$ и $A(t)F(t)$ при $|t| \le t_0$ (так называемых пороговых аппроксимаций) мы получаем аппроксимации по операторной норме в $\mathfrak{H}$ для операторов $\cos ( \tau A(t)^{1/2})$ и $A(t)^{-1/2}\sin ( \tau A(t)^{1/2})$, $\tau \in \mathbb{R}$. Числа $\delta$ и $t_0$ контролируются явно. Затем изучается поведение при малом $\varepsilon >0$ операторов $\cos (\varepsilon^{-1} \tau A(t)^{1/2})$ и $A(t)^{-1/2}\sin ( \varepsilon^{-1}\tau A(t)^{1/2})$, домноженных на “сглаживающий множитель” $\varepsilon^q (t^2 + \varepsilon^2)^{-q/2}$ с подходящим $q>0$. Найденные аппроксимации даются в терминах спектральных характеристик оператора $A(t)$ вблизи нижнего края спектра. Результаты нацелены на применение к усреднению гиперболических уравнений с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами.