On infinitely generated homology of Torelli groups

Пусть $\mathcal{I}_g$ — группа Торелли ориентированной замкнутой поверхности $S_g$ рода $g$, то есть ядро действия группы классов отображений на первой группе целочисленных гомологий поверхности $S_g$. Доказано, что $k$-ая группа целочисленных гомологий группы $\mathcal{I}_g$ содержит свободную абелеву подгруппу бесконечного ранга, если $g\ge 3$ и $2g-3\le k\le 3g-6$. Ранее то же свойство было известно только при $k=3g-5$ (М. Бествина, К.-У. Букс, Д. Маргалит, 2007) и в специальном случае $g=k=3$ (Д. Джонсон, Дж. Миллсон, 1992). Также в настоящей работе доказано, что гиперэллиптическая инволюция действует на построенной бесконечной системе линейно независимых классов гомологий в группе $\mathrm{H}_k(\mathcal{I}_g;\mathbb{Z})$ при помощи умножения на $-1$ при условии, что $k+g$ четно. Это дает отрицательное решение проблемы Р. Хайна. При $k=2g-3$ показано, что группа $\mathrm{H}_{2g-3}(\mathcal{I}_g;\mathbb{Z})$ содержит свободную абелеву подгруппу бесконечного ранга, порожденную абелевыми циклами, и построена явно бесконечная система абелевых циклов, порождающих такую подгруппу. В качестве следствия наших результатов показано, что клеточный комплекс Эйленберга–Маклейна типа $K(\mathcal{I}_g,1)$ не может иметь конечный $(2g-3)$-остов. Доказательства основаны на изучении спектральной последовательности для действия группы $\mathcal{I}_g$ на комплексе циклов, построенном М. Бествиной, К.-У. Буксом и Д. Маргалитом.