Треугольный проектор в $\boldsymbol{S}_p,~0<p<1$, при приближении числа $p$ к $1$

Эта статья является продолжением нашей недавней работы. Мы продолжаем изучение свойств треугольных проекторов $\mathscr{P}_n$ в пространстве матриц размера $n\times n$. Мы получаем оптимальные оценки $p$-норм проекторов $\mathscr{P}_n$ в пространстве операторов класса Шаттена–фон Неймана $\mathbf{S}_p$ при $0<p<1$. Наши оценки являются равномерными по $n$ и $p$, если только число $p$ отделено от $0$. Основной результат работы показывает, что при $p\in(0,1)$ $p$-нормы проекторов $\mathscr{P}_n$ в $\boldsymbol{S}_p$ ведут себя как $n^{1/p-1}\min\big\{(1-p)^{-1},\log n\big\}$ при $n\to\infty$ и $p\to1$.