On procongruence curve complexes and their automorphisms

В этой работе начато исследование проконгруэнтных пополнений для трёх многообразий комплексов кривых, прикрепленных к гиперболическим поверхностям, а также исследование групп их автоморфизмов. Дискретные аналоги этих объектов, в особенности комплекс кривых и комплекс разложений поверхности на рукава, были определены давно и активно исследовались. Ввести какой-то тип пополнений естественно, но также и необходимо, чтобы заложить основы топологической версии теории Гротендика–Тейхмюллера. Здесь будет приведено несколько основополагающих результатов, среди них — теоремы о восстановлении в дискретной и в полной постановках, которые дают описание комплекса кривых в терминах теории графов, а также теоремы о жесткости для комплекса разложений поверхности на рукава, образующие резкий контраст со случаем (полного) комплекса кривых, автоморфизмы которого в действительности определяют версию группы Гротендика–Тейхмюллера, которая будет изучена в другом месте. Мы всё время (и не без причин) работаем с проконгруэнтными пополнениями, не забывая о том, что так называемая гипотеза о конгруэнтности предсказывает, что эти пополнения должны совпасть с абсолютным проконечным пополнением.