Группы с коммутационными соотношениями типа $\mathsf A_\ell$

Для любого ассоциативного кольца $A$ с единицей и любого $\ell \geq 2$ в полной линейной группе $\mathrm{GL}\,(\ell, A)$ есть корневые подгруппы $U_\alpha$ и элементы Вейля $n_\alpha$, где $\alpha$ — это корень из системы корней типа $\mathsf A_{\ell - 1}$. Наоборот, если в произвольной группе выделены корневые подгруппы и элементы Вейля при $\ell \geq 4$, удовлетворяющие естественным условиям, то можно восстановить кольцо $A$. Мы обобщим этот результат без использования элементов Вейля, вместо матричного кольца $\mathrm{M}\,(\ell, A)$ будет построено ассоциативное кольцо без единицы с достаточно хорошим разложением Пирса.