Алгебра и анализ
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Алгебра и анализ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Алгебра и анализ, 2022, том 34, выпуск 1, страницы 61–104 (Mi aa1796)  

Статьи

Commutators of relative and unrelative elementary unitary groups

N. Vavilova, Z. Zhangb

a Department of Mathematics and Computer Science, St. Petersburg State University, St. Petersburg, Russia
b Department of Mathematics, Beijing Institute of Technology, Beijing, China
Список литературы:
Аннотация: In the present paper, which is an outgrowth of our joint work with Anthony Bak and Roozbeh Hazrat on unitary commutator calculus [9, 27, 30, 31], we find generators of the mixed commutator subgroups of relative elementary groups and obtain unrelativized versions of commutator formulas in the setting of Bak's unitary groups. It is a direct sequel of our papers [71, 76, 78, 79] and [77, 80], where similar results were obtained for $\mathrm{GL}(n,R)$ and for Chevalley groups over a commutative ring with 1, respectively. Namely, let $(A,\Lambda)$ be any form ring and let $n\ge 3$. We consider Bak's hyperbolic unitary group $\mathrm{GU}(2n,A,\Lambda)$. Further, let $(I,\Gamma)$ be a form ideal of $(A,\Lambda)$. One can associate with the ideal $(I,\Gamma)$ the corresponding true elementary subgroup $\mathrm{FU}(2n,I,\Gamma)$ and the relative elementary subgroup $\mathrm{EU}(2n,I,\Gamma)$ of $\mathrm{GU}(2n,A,\Lambda)$. Let $(J,\Delta)$ be another form ideal of $(A,\Lambda)$. In the present paper we prove an unexpected result that the nonobvious type of generators for $\big[\mathrm{EU}(2n,I,\Gamma),\mathrm{EU}(2n,J,\Delta)\big]$, as constructed in our previous papers with Hazrat, are redundant and can be expressed as products of the obvious generators, the elementary conjugates $Z_{ij}(\xi,c)=T_{ji}(c)T_{ij}(\xi)T_{ji}(-c)$, and the elementary commutators $Y_{ij}(a,b)=[T_{ij}(a),T_{ji}(b)]$, where $a\in(I,\Gamma)$, $b\in(J,\Gamma)$, $c\in(A,\Delta)$, and $\xi \in (I,\Gamma)\circ(J,\Delta )$. It follows that $\big[\mathrm{FU}(2n,I,\Gamma),\mathrm{FU}(2n,J,\Delta)\big]= \big[\mathrm{EU}(2n,I,\Gamma),\mathrm{EU}(2n,J,\Delta)\big]$. In fact, we establish much more precise generation results. In particular, even the elementary commutators $Y_{ij}(a,b)$ should be taken for one long root position and one short root position. Moreover, the $Y_{ij}(a,b)$ are central modulo $\mathrm{EU}(2n,(I,\Gamma)\circ(J,\Gamma))$ and behave as symbols. This allows us to generalize and unify many previous results, including the multiple elementary commutator formula, and dramatically simplify their proofs.
Ключевые слова: Bak's unitary groups, elementary subgroups, congruence subgroups, standard commutator formula, unrelativized commutator formula, elementary generators, multiple commutator formula.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 17-11-01261
Фонд развития теоретической физики и математики "БАЗИС" 20-7-1-27-1
The part of the work of the first author on unrelativization and multiple commutator formulas was supported by the Russian Science Foundation grant №17-11-01261. The later stages — explicit relations on symbols and stability — were supported by the “Basis” Foundation grant №20-7-1-27-1.
Поступила в редакцию: 17.03.2021
Англоязычная версия:
St. Petersburg Mathematical Journal, 2023, Volume 34, Issue 1, Pages 45–77
DOI: https://doi.org/10.1090/spmj/1745
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
Язык публикации: английский
Образец цитирования: N. Vavilov, Z. Zhang, “Commutators of relative and unrelative elementary unitary groups”, Алгебра и анализ, 34:1 (2022), 61–104; St. Petersburg Math. J., 34:1 (2023), 45–77
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VavZha22}
\by N.~Vavilov, Z.~Zhang
\paper Commutators of relative and unrelative elementary unitary groups
\jour Алгебра и анализ
\yr 2022
\vol 34
\issue 1
\pages 61--104
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/aa1796}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4528763}
\transl
\jour St. Petersburg Math. J.
\yr 2023
\vol 34
\issue 1
\pages 45--77
\crossref{https://doi.org/10.1090/spmj/1745}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/aa1796
  • https://www.mathnet.ru/rus/aa/v34/i1/p61
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Алгебра и анализ St. Petersburg Mathematical Journal
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:190
    PDF полного текста:3
    Список литературы:27
    Первая страница:28
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024