Пороговые аппроксимации резольвенты полиномиального неотрицательного операторного пучка

В гильбертовом пространстве $\mathfrak{H}$ рассматривается семейство операторов $A(t)$, $t \in \mathbb{R}$, допускающих факторизацию вида $A(t) = X(t)^* X(t)$, где $X(t)= X_0 + X_1 t + \dots + X_p t^p$, $p \ge 2$. Предполагается, что точка $\lambda_0=0$ является изолированным собственным значением оператора $A(0)$ конечной кратности. Пусть $F(t)$ — спектральный проектор оператора $A(t)$ для промежутка $[0,\delta]$. При $|t| \le t^0$ получены аппроксимации по операторной норме в $\mathfrak{H}$ для проектора $F(t)$ с погрешностью $O(t^{2p})$ и для оператора $A(t)F(t)$ с погрешностью $O(t^{4p})$ (так называемые пороговые аппроксимации). Числа $\delta$ и $t^0$ контролируются явно. На основе пороговых аппроксимаций найдено приближение по операторной норме в $\mathfrak{H}$ для резольвенты $(A(t) + \varepsilon^{2p} I )^{-1}$ при $|t|\le t^0$ и малом $\varepsilon>0$ с погрешностью $O(1)$. Все упомянутые аппроксимации даются в терминах спектральных характеристик оператора $A(t)$ вблизи нижнего края спектра. Результаты нацелены на применение к задачам усреднения периодических дифференциальных операторов в пределе малого периода.