Асимптотика спектра смешанной краевой задачи для оператора Лапласа в тонкой веретенообразной области

Изучена асимптотика решений спектральной задачи для оператора Лапласа в $d$-мерной тонкой, диаметром $O(h)$, веретенообразной области $\Omega^h$ с условием Дирихле на малых, размером $h\ll1$, концевых конических зонах $\Gamma^h_\pm$ и условием Неймана на остальной части границы $\partial \Omega^h$. В пределе при $h\rightarrow+0$ появляется обыкновенное дифференциальное уравнение на оси веретена $(-1,1)\ni z$ с коэффициентом, вырождающимся в точках $z=\pm1$, причем без краевых условий, так как требование ограниченности собственной функции делает предельную спектральную задачу корректной. Выведятся оценки погрешностей одномерной модели, но приходится в случае $d=3$ строить пограничные слои около множеств $\Gamma^h_\pm$, а в случае $d=2$ — производить самосопряженное расширение оператора. Параметры расширения линейно зависят от $\ln h$, а его собственные числа суть аналитические функции переменной $1/|\ln h|$. В итоге во всех размерностях одномерная модель приобретает степенную точность $O(h^{\delta_d})$ с показателем $\delta_d>0$. В особой обработке нуждаются первые (наименьшие) собственные числа — положительное в $\Omega^h$ и нулевое на $(-1,1)$. Также обсуждаются полные асимптотические ряды, статическая задача (без спектрального параметра) и родственные формы тонкой области.