Критерии отсутствия и наличия ограниченных решений на пороге непрерывного спектра в объединении квантовых волноводов

В объединении $\Omega$ нескольких полубесконечных цилиндрических волноводов рассматривается задача Дирихле для оператора Лапласа, непрерывный спектр которой — луч $[\lambda_\dagger, +\infty)$ с положительной точкой отсечки $\lambda_\dagger$. Предложены два различных критерия наличия порогового резонанса, порожденного нетривиальным ограниченным решением задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца $-\Delta u=\lambda_\dagger u$ в $\Omega$. Первый критерий достаточно прост и удобен для проверки отсутствия ограниченных решений. Второй критерий более сложный, но он может быть использован для определения конкретных форм волновода, обладающих пороговым резонансом. Более того, он естественным образом различает ограниченные, но незатухающие решения и захваченные волны, затухающие на бесконечности экспоненциально.