Точные оценки среднеквадратичных приближений классов периодических свёрток пространствами сдвигов

Пусть $L_p$ — стандартные пространства Лебега $2\pi$-периодических функций, $E(f,X)_2$ — наилучшее приближение функции $f$ пространством $X$ в $L_2$. При $n\in\mathbb{N}$, $B\in L_2$ обозначим через $\mathbb{S}_{B,n}$ пространство функций $s$ вида
$$ s(x)=\sum\limits_{j=0}^{2n-1}\beta_jB\Big(x-\frac{j\pi}{n}\Big). $$
В работе даётся описание всех пространств $\mathbb{S}_{B,n}$, реализующих точную константу в различных неравенствах для приближений классов свёрток с ядром $G\in L_1$. В частности, получены условия, необходимые и достаточные для справедливости неравенства
$$ E\bigl(f,\mathbb{S}_{B,n}\bigr)_2\leqslant|c^\ast_{2n+1}(G)|\|\varphi\|_2, $$
точного на классе функций $f$, представимых в виде $f=G\ast\varphi$, $\varphi\in L_2$. Константа $|c^\ast_{2n+1}(G)|$ есть $(2n+1)$-й в порядке невозрастания элемент последовательности $\{|c_l(G)|\}_{l\in\mathbb{Z}}$ модулей коэффициентов Фурье $G$. Помимо этого, указаны легко проверяемые условия, достаточные для справедливости рассматриваемых неравенств, и приведены примеры ядер и экстремальных подпространств, удовлетворяющих этим условиям.