Захват волны в искривленном цилиндрическом акустическом волноводе с неизменным сечением

Рассматриваются цилиндрические акустические волноводы с одинаковым поперечным сечением $\omega$: прямой $\Omega={\mathbb R}\times\omega\subset {\mathbb R}^d$ и локально искривленный $\Omega^\varepsilon$, зависящий от параметра $\varepsilon\in(0,1]$. При $d>2$ в двух ситуациях ($\varepsilon=1$ и $\varepsilon\ll1$) отыскивается собственное число $\lambda^\varepsilon$, вкрапленное в непрерывный спектр $[0,+\infty)$ волновода $\Omega^\varepsilon$ и потому обладающее природной неустойчивостью. Иными словами, у задачи Неймана для оператора Гельмгольца $\Delta+\lambda^\varepsilon$ появляется затухающее на бесконечности решение — собственная функция из пространства Соболева $H^1(\Omega^\varepsilon)$. В первой ситуации у сечения $\omega$ предполагается двойная симметрия, а собственное число возникает при любой нетривиальной кривизне оси волновода $\Omega^\varepsilon$. Во второй ситуации при некотором ограничении на форму асимметричного сечения $\omega$ собственное число $\lambda^\varepsilon$ формируется путем скрупулезного подбора кривизны $O(\varepsilon)$ при малом $\varepsilon>0$.