Максимальный оператор из $\mathrm{BMO}$ в $\mathrm{BLO}$ на $\alpha$-деревьях

Мы находим точную верхнюю функцию Беллмана для естественного диадического максимального оператора, действующего из пространства $\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$ в пространство $\mathrm{BLO}(\mathbb{R}^n)$. Как следствие нами показано, что норма естественного максимального оператора из $\mathrm{BMO}$ в $\mathrm{BLO}$ равна $1$ при всех $n$, и такой же является норма классического диадического максимального оператора. Главный результат получается как частичное следствие теоремы для так называемых $\alpha$-деревьев, которые обобщают диадические решётки. В этой постановке функция Беллмана обнаруживает интересную квази-периодическую структуру, зависящую от $\alpha$, но допускает также и не зависящую от $\alpha$ мажоранту, и тем самым не зависящую от размерности оценку нормы оператора. Мы также получаем точное описание убывания нормы с ростом разности среднего значения функции на кубе и инфимума максимальной функции на этом кубе. Построена последовательность тестовых функций, на которой достигается норма оператора.