Деление на $2$ рациональных точек на эллиптических кривых

Мы приводим простое доказательство условия делимости на $2$ в группе рациональных точек эллиптической кривой с рациональным $2$-кручением. В качестве приложения явных формул деления на $2^n$, полученных в § 2, мы строим версальные семейства эллиптических кривых с рациональным $2$-кручением, содержащих точки порядков $3,4,5,6$ и $8$. Эти семейства мы используем в дальнейшем для явного описания эллиптических кривых над некоторыми конечными полями $\mathbb F_q$ с заданной группой $E(\mathbb F_q)$. В § 5 и § 6 мы изучаем $3$- и $5$-кручение.