Векторнозначная ограниченность операторов гармонического анализа

Пусть $S$ – пространство однородного типа, $X$ – банахова решетка измеримых функций на $S\times\Omega$, обладающая свойством Фату, нетривиальной выпуклостью и такая, что максимальный оператор Харди–Литлвуда ограничен в решетках $X$ и $X'$, а $Y$ – какая-то решетка измеримых функций, также обладающая свойством Фату. Показывается, что ограниченность максимального оператора Харди–Литлвуда в решетке $X(Y)$ равносильна его ограниченности в пространстве $\mathrm L_sY$ при некотором (эквивалентно при всех) $1<s<\infty$. В случае $S=\mathbb R^n$ последнее свойство называется свойством Харди–Литлвуда решетки $Y$. Рассматривают еще родственное свойство $\mathrm{UMD}$ решетки $Y$, которое влечет ограниченность в решетке $X(Y)$ всех операторов Кальдерона–Зигмунда (и равносильно ограниченности в ней какого-то одного невырожденного оператора Кальдерона–Зигмунда). Свойство $\mathrm{UMD}$ решетки $Y$ будет охарактеризовано в терминах $\mathrm A_p$-регулярности решеток $\mathrm L_\infty Y$ и $\mathrm L_\infty Y'$. В рассуждениях существенную роль играет уточненное свойство делимости для $\mathrm A_p$-регулярности.