Индуцированные множества ограниченного остатка

Индуцированные двумерные разбиения Рози обобщаются на разбиения торов $\mathbb T^D=\mathbb R^D/\mathbb Z^D$ произвольной размерности $D$. Для этого используется метод вложения в тор $T\stackrel{\mathrm{em}}\hookrightarrow\mathbb T^D$ разверток $T$ тора $\mathbb T^D_L=\mathbb R^D/L$ для некоторых решеток $L$. Особенностью разверток $T$ является то, что для заданного сдвига тора $S\colon\mathbb T^D\longrightarrow\mathbb T^D$ его ограничение $S|_T$ на подмножество $T\subset\mathbb T^D$, т.е. отображение первого возвращения или отображение Пуанкаре, эквивалентно перекладыванию областей $T_k$, образующих разбиение развертки $T=T_0\sqcup T_1\sqcup\dots\sqcup T_D$. В рассматриваемом случае индуцированное отображение $S|_T$ представляет собой сдвиг тора $\mathbb T^D_L$.
Доказывается, что все $T_k$ являются множествами ограниченного остатка: отклонения $\delta_{T_k}(i,x_0)$ из формулы $r_{T_k}(i,x_0)=a_{T_k}i+\delta_{T_k}(i,x_0)$, где $r_T(i,x_0)$ – количество попаданий точек $S^0(x_0),S^1(x_0),\dots,S^{i-1}(x_0)$ из $S$-орбиты в множество $T_k$, $x_0$ – произвольная начальная точка на торе $\mathbb T^D$ и коэффициент $a_{T_k}$ равен объему множества $T_k$, ограничены. Для указанных отклонений $\delta_{T_k}(i,x_0)$ получены явные оценки. Ранее связь отображений $S|_T$ с множествами ограниченного остатка была замечена Рози и Ференци.