Асимптотика решений стационарной и нестационарной систем Максвелла в области с малыми отверстиями

В ограниченной области с конечным числом малых отверстий при всех временах $t\in\mathbb R$ рассматривается нестационарная система уравнений Максвелла. Диаметры отверстий пропорциональны малому параметру $\varepsilon$. На границе области заданы условия идеальной проводимости или импедансные краевые условия. Выводится асимптотика решения при $\varepsilon\to0$. Малые отверстия являются “сингулярными” возмущениями области: при $\varepsilon\to0$ они переходят в выколотые точки. Представленная математическая модель описывает поведение электромагнитного поля внутри проводящего резонатора с включениями металлических частиц малых размеров. Такая модель может иметь приложения к диагностике плазмы, загрязненной металлическими частицами и заполняющей резонатор.
Для описания асимптотики решений применяется метод составных асимптотических разложений. В этом методе асимптотика решения составляется из решений так называемых предельных задач, не зависящих от $\varepsilon$. При этом одна из предельных задач оказывается нестационарной задачей в области с особыми точками на границе. Остальные предельные задачи являются стационарными задачами во внешностях ограниченных областей. Метод составных разложений позволяет описать поведение только тех волн, длина которых больше, чем диаметры отверстий. Вклад коротких волн в энергию решения оказывается пренебрежимо малым за счет гладкости правой части системы Максвелла по времени.