Аналитические интегралы полустандартного отображения и расщепление сепаратрис

При малых возмущениях интегрируемой гамильтоновой системы в фазовом пространстве последней появляются стохастические слои. Если возмущение аналитично, то толщина стохастического слоя имеет порядок $\exp(-\mathrm{const}/\sqrt{\varepsilon})$, где $\epsilon$ — малый параметр, характеризующий возмущение. Появление стохастического слоя связано с тем, что сепаратрисы возникающих гиперболических периодических траекторий имеют трансверсальные пересечения под углами, которые оцениваются указанной величиной. Ранее автором была получена асимптотика при $\epsilon\to0$ угла расщепления сепаратрис для одной, интенсивно изучаемой в последнее время, модельной динамической системы — стандартного отображения. Вывод формулы опирался на гипотезу о существовании аналитического интеграла в слое около сепаратрисы, так называемого полустандартного отображения. Настоящая статья содержит доказательство этой гипотезы.