Усреднение эллиптических операторов высокого порядка с периодическими коэффициентами

В пространстве $L_2(\mathbb R^d;\mathbb C^n)$ изучается самосопряженный сильно эллиптический оператор $A_\varepsilon$ порядка $2p$, заданный выражением $b(\mathbf D)^*g(\mathbf x/\varepsilon)b(\mathbf D)$, $\varepsilon>0$. Здесь $g(\mathbf x)$ – ограниченная и положительно определенная $(m\times m)$-матрица-функция в $\mathbb R^d$, периодическая относительно некоторой решетки; $b(\mathbf D)=\sum_{|\alpha|=p}b_\alpha\mathbf D^\alpha$ – дифференциальный оператор порядка $p$ с постоянными коэффициентами; $b_\alpha$ – постоянные $(m\times n)$-матрицы. Предполагается, что $m\geqslant n$ и что символ $b({\boldsymbol\xi})$ имеет максимальный ранг. Для резольвенты $(A_\varepsilon-\zeta I)^{-1}$ при $\zeta\in\mathbb C\setminus[0,\infty)$ получены аппроксимации по операторной норме в $L_2(\mathbb R^d;\mathbb C^n)$ и по норме операторов, действующих из $L_2(\mathbb R^d;\mathbb C^n)$ в пространство Соболева $H^p(\mathbb R^d;\mathbb C^n)$, с оценками погрешности в зависимости от $\varepsilon$ и $\zeta$.