Нормализатор группы Шевалле типа $\mathrm E_7$

Мы рассматриваем односвязную группу Шевалле $G(\mathrm E_7,R)$ типа $\mathrm E_7$ в $56$-мерном представлении. Основной целью работы является доказательство совпадения следующих четырех групп: нормализатор элементарной группы Шевалле $E(\mathrm E_7,R)$, нормализатор группы Шевалле $G(\mathrm E_7,R)$, транспортер $E(\mathrm E_7,R)$ в $G(\mathrm E_7,R)$, расширенная группа Шевалле $\overline G(\mathrm E_7,R)$. Это совпадение имеет место для совершенно произвольного коммутативного кольца $R$, а все нормализаторы и транспортеры здесь берутся в $\mathrm{GL}(56,R)$. Кроме того, мы характеризуем $\overline G(\mathrm E_7,R)$ как стабилизатор системы квадрик. Этот результат классически известен для алгебраически замкнутых полей, в настоящей работе мы доказываем гладкость получающейся схемы над $\mathbb Z$, откуда следует его справедливость для произвольного коммутативного кольца. Эти результаты являются одним из основных инструментов в нашей следующей работе, посвященной надгруппам исключительных групп в минимальных представлениях.