Об оболочках и разделяющих функторах для триангулированных категорий

Наша основная цель – доказать следующее утверждение: на триангулированной категории $\underline C$ можно задать когомологический функтор $F$ (со значениями в некоторой абелевой категории), для которого данное множество $E\subset\operatorname{Obj}\underline C$ является множеством нулей, тогда и только тогда, когда $E$ замкнуто относительно ретрактов и расширений. Кроме того, если $\underline C$ – $R$-линейная категория (где $R$ – некоторое коммутативное кольцо), мы можем выбрать $R$-линейный когомологический функтор $F\colon\underline C^{op}\to R-\mathrm{mod}$, задающий $E$. Этот результат позволяет доказать, что объект $Y$ лежит в соответствующей “оболочке” некоторого множества $D\subset\operatorname{Obj}\underline C$ тогда и только тогда, когда это свойство выполнено для образов $D$ и $Y$ во всех категориях $\underline C_p$, полученных из $\underline C$ при помощи “локализаций коэффициентов” по максимальным идеалам $p$ кольца $R$. Кроме того, в процессе доказательства теоремы был разработан новый подход, связывающий триангулированную категорию с ее (неполными) счетными триангулированными подкатегориями. Мы планируем применить результаты статьи к изучению весовых структур и триангулированных категорий мотивов.