Вложение круговых орбит и распределение дробных долей

Пусть $r_{n,\alpha}(i,t)$ – количество точек из последовательности $\{t\}$, $\{\alpha+t\}$, $\{2\alpha+t\},\dots$, попавших в полуинтервал $[0,\{n\alpha\})$, где $\{x\}$ – дробная часть числа $x$, $n$ – произвольное целое число и $t$ – любое фиксированное число. Обозначим через $\delta_{n,\alpha}(i,t)=i\{n\alpha\}-r_{n,\alpha}(i,t)$ величину отклонения ожидаемого количества попаданий $i\{n\alpha\}$ точек указанной выше последовательности в полуинтервал $[0,\{n\alpha\})$ длины $\{n\alpha\}$ от реального числа их попаданий $r_{n,\alpha}(i,t)$. Э. Гекке доказал теорему: для отклонений $\delta_{n,\alpha}(i,t)$ выполняется неравенство $|\delta_{n,\alpha}(i,t)|\le|n|$ для всех $t\in[0,1)$ и $i=0,1,2,\dots$ В работе найдены условия на параметры $n$ и $\alpha$, при которых величина $\delta_{n,\alpha}(i, t)$ может быть ограничена $|\delta_{n,\alpha}(i,t)|<c_\alpha$ некоторой зависящей от $\alpha$ константой $c_\alpha>0$, когда $|n|\to\infty$ и $n$ пробегает бесконечное подмножество целых чисел. Если в качестве параметра $n$ выбираются знаменатели подходящих дробей $Q_m$ для $\alpha$, то в этом случае вычислены минимальные значения констант $c_\alpha$. Для доказательств используется новый метод – вложение круговых орбит в разбиения на единичной окружности.