Рациональные поверхности и каноническая размерность группы $\mathbf{PGL}_6$

“Канонической размерностью” алгебраической группы над полем по определению называется максимальная каноническая размерность ее главных однородных пространств. Доказано, что проективная линейная группа $\mathbf{PGL}_6$ над полем нулевой характеристики имеет каноническую размерность 3. Приводятся два различных доказательства, каждое из которых основано на бирациональной классификации рациональных поверхностей над незамкнутым полем. Кроме того, в основе одного из доказательств лежит новый взгляд на поверхности дель Пеццо степени 6.