Метод вычисления волноводной матрицы рассеяния в окрестности порогов

Волновод занимает область $G$ в пространстве $\mathbb R^{n+1}$, $n\geq1$, которая имеет несколько цилиндрических выходов на бесконечность. Волновод описывается задачей Дирихле для уравнения Гельмгольца. Матрица рассеяния $S(\mu)$, где $\mu$ – спектральный параметр, меняет размер при переходе $\mu$ через пороговое значение. Для вычисления $S(\mu)$ в окрестности порога вводится “расширенная” матрица рассеяния $\mathcal S (\mu)$, которая сохраняет размер вблизи порога и является там аналитической функцией параметра $\mu$. В качестве приближения для строки матрицы $\mathcal S(\mu)$ предлагается минимизатор некоторого квадратичного функционала $J^R(\cdot,\mu)$. Функционал строится посредством решения вспомогательной краевой задачи в ограниченной области, полученной отрезанием на расстоянии $R$ выходов волновода на бесконечность. Доказывается, что минимизатор $a(R,\mu)$ при $R\to\infty$ стремится с экспоненциальной скоростью к соответствующей строке матрицы $\mathcal S(\mu)$ равномерно относительно $\mu$ в окрестности порога. При этом не исключается присутствие в упомянутой окрестности собственных значений волновода (которым отвечают собственные функции, экспоненциально затухающие на бесконечности). Наконец, элементы “обычной” матрицы рассеяния $S(\mu)$ выражаются через элементы матрицы $\mathcal S(\mu)$.
Если отрезок $[\mu_1,\mu_2]$ непрерывного спектра не содержит порогов, то соответствующий функционал $J^R(\cdot,\mu)$ определяется для обычной матрицы $S(\mu)$, а его минимизатор $a(R,\mu)$ стремится при $R\to\infty$ к строке матрицы рассеяния с экспоненциальной скоростью равномерно на отрезке $[\mu_1,\mu_2]$.