Аппроксимация резольвенты двупараметрического квадратичного операторного пучка вблизи нижнего края спектра

В гильбертовом пространстве рассматривается двупараметрический пучок самосопряженных операторов $B(t,\varepsilon)=X(t)^*X(t)+\varepsilon(Y_2^*Y(t)+Y(t)^*Y_2)+\varepsilon^2Q$, где $X(t)=X_0+tX_1$, $Y(t)=Y_0+tY_1$. Предполагается, что для оператора $X_0^*X_0$ точка $\lambda_0=0$ – изолированное собственное значение конечной кратности и что операторы $Y(t)$, $Y_2$, $Q$ в определенном смысле подчинены оператору $X(t)$. Изучается обобщенная резольвента $(B(t,\varepsilon)+\lambda\varepsilon^2Q_0)^{-1}$, где оператор $Q_0$ ограничен и положительно определен. Получена аппроксимация этой резольвенты при малом $\tau=(t^2+\varepsilon^2)^{1/2}$ с точностью $O(1)$. Аппроксимация выражается в терминах некоторых операторов конечного ранга и представляет собой сумму старшего члена и корректора. Результаты нацелены на применения к задачам гомогенизации периодических дифференциальных операторов в пределе малого периода.