Нормализатор группы Шевалле типа $\mathrm{E}_6$

Мы рассматриваем односвязную группу Шевалле $G(\mathrm{E}_6,R)$ типа $\mathrm{E}_6$ в 27-мерном представлении. Основной целью работы является доказательство совпадения следующих четырех групп: нормализатор группы Шевалле $G(\mathrm{E}_6,R)$, нормализатор элементарной группы Шевалле $E(\mathrm{E}_6,R)$, транспортер $E(\mathrm{E}_6,R)$ в $G(\mathrm{E}_6,R)$, расширенная группа Шевалле $G(\mathrm{E}_6,R)$. Это совпадение имеет место для совершенно произвольного коммутативного кольца $R$, а все нормализаторы и транспортеры здесь берутся в $\mathrm{GL}(27,R)$. Кроме того, мы характеризуем $\overline G(\mathrm{E}_6,R)$ как стабилизатор системы квадрик. Этот результат классически известен для алгебраически замкнутых полей, в настоящей работе мы доказываем гладкость получающейся схемы над $\mathbb Z$, откуда следует его справедливость для произвольного коммутативного кольца. На основе этих результатов мы явно выписываем уравнения, которым должна удовлетворять матрица $g\in\mathrm{GL}(27,R)$, чтобы принадлежать $\overline G(\mathrm{E}_6,R)$. Эти результаты являются одним из основных инструментов в нашей следующей работе, посвященной надгруппам исключительных групп в минимальных представлениях.