Стационарные диффузионные процессы с разрывными коэффициентами сноса

Исследуется стационарное уравнение Фоккера–Планка $\Delta u-\mathrm{div}(u\mathbf f)=0$ с локально ограниченным измеримым векторным полем $\mathbf f$, заданным на всем $\mathbf R^n$. Доказывается существование положительного (не обязательно интегрируемого) решения. Далее выводятся различные условия на векторное поле $\mathbf f$, достаточные для существования решения, являющегося плотностью вероятности. При этих условиях соответствующая диффузия имеет инвариантную вероятностную меру с плотностью $u$. Условия доказанных теорем выполняются, в частности, для некоторых векторных полей $\mathbf f$ с траекториями, уходящими на бесконечность. В такой ситуации предложенный подход оказывается более эффективным, чем ранее известные методы, основанные на построении функции Ляпунова.