О надгруппах $E(m,R)\otimes E(n,R)$. I. Уровни и нормализаторы

Мы начинаем изучение подгрупп
$$ E(m,R)\otimes E(n,R)\le H\le G=\mathrm{GL}(mn,R) $$
в предположении, что кольцо $R$ коммутативно, а $m,n\ge3$. Основные результаты состоят в следующем. Мы задаем группу $\mathrm{GL}_m\otimes\mathrm{GL}_n$ уравнениями и доказываем, что группа $E(m,R)\otimes E(n,R)$ нормальна в $(\mathrm{GL}_m\otimes\mathrm{GL}_n)(R)$, причем в случае, когда $m\neq n$, нормализаторы всех трех групп $E(m,R)\otimes e$, $e\otimes E(n,R)$ и $E(m,R)\otimes E(n,R)$ в $\mathrm{GL}(mn,R)$ совпадают с $(\mathrm{GL}_m\otimes\mathrm{GL}_n)(R)$. С каждой промежуточной подгруппой $H$ связывается однозначно определенный уровень $(A,B,C)$, где $A,B,C$ – идеалы в $R$, причем $mA,A^2\le B\le A$ и $nA,A^2\le C\le A$. По уровню строится совершенная промежуточная подгруппа $\mathrm{EE}(m,n,R,A,B,C)$ и доказывается, что каждая промежуточная подгруппа содержит единственную наибольшую подгруппу такого типа. Кроме того, мы полностью вычисляем нормализатор $N_G(\mathrm{EE}(m,n,R,A))$ этих элементарных групп в ключевом частном случае, когда $A=B=C$.
Стандартный ответ на рассматриваемую задачу состоит в том, что $H$ содержится в нормализаторе $N_G(E(m,n,R,A,B,C))$. В случае $n\ge m+2$ такое стандартное описание будет доказано в следующей части настоящей работы.