Пороговые аппроксимации факторизованного самосопряженного операторного семейства с учетом первого и второго корректоров

В гильбертовом пространстве $\mathfrak H$ рассматривается семейство операторов $A(t)$, допускающих факторизацию вида $A(t)=X(t)^*X(t)$, где $X(t)=X_0+tX_1$, $t\in\mathbb R$. Предполагается, что точка $\lambda_0=0$ является изолированным собственным значением оператора $A(0)$ конечной кратности. Пусть $F(t)$ – спектральный проектор оператора $A(t)$ для промежутка $[0,\delta]$ (где $\delta$ достаточно мало). При малом $|t|$ получены аппроксимации по операторной норме в $\mathfrak H$ для проектора $F(t)$ с погрешностью $O(|t|^3)$ и для оператора $A(t)F(t)$ с погрешностью $O(|t|^5)$ (пороговые аппроксимации). На их основе построена аппроксимация по операторной норме в $\mathfrak H$ для операторной экспоненты $\exp(-A(t)\tau)$ при больших значениях $\tau>0$ с погрешностью $O(\tau^{-3/2})$. Для резольвенты $(A(t)+\varepsilon^2I)^{-1}$, домноженной на подходящий “сглаживающий” множитель, получена аппроксимация по операторной норме в $\mathfrak H$ при малом $\varepsilon>0$ с погрешностью $O(\varepsilon)$. Все упомянутые аппроксимации даются в терминах спектральных характеристик оператора $A(t)$ вблизи нижнего края спектра. В аппроксимациях учитываются первый и второй корректоры. Результаты нацелены на применения к задачам усреднения периодических дифференциальных операторов в пределе малого периода.