Асимптотические решения двумерного модельного волнового уравнения с вырождающейся скоростью и локализованными начальными данными

На полуплоскости $\{x_1\geq0,x_2\}$ для двумерного волнового уравнения со скоростью $c=\sqrt x_1$ рассматривается задача Коши c начальными данными, локализованными в окрестности точки $(1,0)$. Такая задача является модельной в теории наката на берег длинных поверхностных волн малой амплитуды, возбуждаемых мгновенным по времени и локализованном в пространстве источником. Строится асимптотика решения по малому параметру, представляющему собой отношение размеров источника к расстоянию до оси $x_2$ (до берега). Она получена c помощью канонического оператора Маслова, модифицированного для случая локализованных начальных условий. Проанализирована связь решения с картиной траекторий геометрической оптики, отвечающих данной задаче. Изучено решение вблизи оси $x_2$ (берега). Для частного вида начальных условий предъявлены простые формулы для решения.