Экстремальные свойства сферических полудизайнов

Для любого четного $t\geq2$ и любой системы векторов $\Phi=\{\varphi_1,\dots,\varphi_m\}$ на сфере $S^{n-1}$ вводится понятие $t$-потенциала $P_t(\Phi)=\sum^m_{i,j=1}[\langle\varphi_i,\varphi_j \rangle]^t$. Доказывается, что минимум $t$-потенциала достигается на сферических полудизайнах порядка $t$ и только на них. Впервые аналогичное утверждение было установлено Б. Б. Венковым [1]. Дается обобщение на случай систем $\Phi$, не лежащих на сфере $S^{n-1}$. Вводятся также потенциалы В. А. Юдина $U_k(\Phi)$, $k=2,4,\dots,t$, и доказывается, что они также достигают минимума на сферических полудизайнах порядка $t$ и только на них.