Классификация действий групп на прямой и окружности

В настоящей работе под действием группы на топологическом пространстве понимается действие гомеоморфизмами; под сопряженными (полусопряженными) действиями понимаются топологически сопряженные (топологически полусопряженные) действия. Действие группы $G$ на хаусдорфовом топологическом пространстве $X$ называется проксимальным, если для произвольных точек $x$ и $y$ из $X$ найдется последовательность $\{g_{k}\}$ в $G$ такая, что последовательности $\{g_k{x}\}$ и $\{g_k{y}\}$ сходятся к одной и тойже точке. Основным результатом работы является следующая теорема (определения используемых в ее формулировке понятий даны в § 1).