Усреднение в классе Соболева $H^1(\mathbb R^d)$ для периодических эллиптических дифференциальных операторов второго порядка при включении членов первого порядка

Изучаются матричные периодические эллиптические дифференциальные операторы $\mathcal B_\varepsilon$ второго порядка в $\mathbb R^d$ с быстро осциллирующими (зависящими от $\mathbf x/\varepsilon$) коэффициентами. Старшая часть оператора задается в факторизованной форме $b(\mathbf D)^* g(\varepsilon^{-1}\mathbf x)b(\mathbf D)$, где $g$ – периодическая ограниченная и положительно-определенная матрица-функция, а $b(\mathbf D)$ – матричный оператор первого порядка, символ которого есть матрица максимального ранга. В оператор включаются также члены первого и нулевого порядков с неограниченными коэффициентами. Рассматривается задача об усреднении в пределе малого периода. Для обобщенной резольвенты оператора $\mathcal B_\varepsilon$ получена аппроксимация по операторной норме в $L_2(\mathbb R^d;\mathbb C^n)$ с погрешностью $O(\varepsilon)$, а также аппроксимация с учетом корректора по операторной норме из $L_2(\mathbb R^d;\mathbb C^n)$ в $H^1(\mathbb R^d;\mathbb C^n)$ с погрешностью порядка $\varepsilon$. Общие результаты применяются к задачам усреднения для оператора Шредингера и двумерного оператора Паули, в которых потенциалы содержат сингулярные слагаемые.