Дискретный спектр двумерного периодического эллиптического оператора второго порядка, возмущенного убывающим потенциалом. I. Полубесконечная лакуна

Рассматривается положительный ${\mathbb Z}^2$-периодический дифференциальный оператор $A$ второго порядка, возмущенный убывающим потенциалом $V$. Изучается поведение числа $\mathfrak N(\alpha)$ отрицательных собственных значений оператора $A$ – $\alpha V$, $\alpha>0$, при больших значениях $\alpha$. Исследуется возможность конкуренции между вейлевским (квазиклассическим) вкладом в $\mathfrak N(\alpha)$ и вкладом от порогового эффекта. Последний определяется вспомогательной задачей на полуоси.