Об одной экстремальной задаче в алгебре Винера

Для аналитических пространств Бесова в $B_{p,q}^{1/p}$ и алгебры Винера $l^1_a$, абсолютно сходящихся в единичном круге рядов Тейлора, изучается асимптотика последовательностей
\begin{align*} r_n(X)&=\sup\{\inf\{\|f\|_X:f\in X, f=B_EG, G(0)=1\}:\#E=n,E\subset\mathbb D\}, \\ s_n(X)&=\sup\{\|B_E\|_X:\#E=n\}, \\ t_n(X)&=\inf\{\|B_E\|_X:\#E=n\}, \end{align*}
где $X=B_{p,q}^{1/p}$ или $X=l_a^1$, $B_E$ – произведение Бляшке с нулями в конечном подмножестве $E$ единичного круга $\mathbb D$. Интерес к асимптотике величин $r_n(l^1_a)$ возник в связи с задачей об оценках норм присоединенных матриц (см. [1-3]), где и было установлено, что $r_n(l^1_a)\asymp\sqrt{n}$. Результаты настоящей работы позволяют ответить на два оставшихся вопроса. Произведения Бляшке не дают правильной асимптотики величин $r_n(l^1_a)$, а именно существует последовательность произведений Бляшке с $n$ нулями $B_n$, для которой $\|B_n\|_{l^1_a}\asymp n$. С другой стороны, для любого подмножества $E$ единичного круга, состоящего из $n$ точек, строится экстремальная функция $g_E$, для которой $g_E(0)=1$, $\|B_Eg_E\|_{l^1_a}\le c\sqrt{n}$, что дает новое конструктивное доказательство оценки $r_n(l^1_a)$ сверху.