Орбитные сферические 11-дизайны, у которых начальная точка – корень инвариантного многочлена

В работе рассматриваются сферические $t$-дизайны на $N$-мерной евклидовой сфере $S_{N-1}$, которые являются орбитой $G{\mathbf x}_0$ конечной группы $G$ ортогональных матриц с начальной точкой ${\mathbf x}_0\in S_{N-1}$. Если в качестве начальной точки ${\mathbf x}_0$ взять общий корень всех гармонических $G$-инвариантных многочленов $f(x)$ степени $\le t$ с нулевым средним, т.е. тех $f({\mathbf x})$, для которых $\int_{S_{N-1}}f({\mathbf x})\,d\mu({\mathbf x})=0$, то орбита будет $t$-дизайном [1].
Для групп $\Phi_{n,2}$ и $\Sigma_{n,2}$ ортогональных $2^n\times2^n$ матриц, введенных в работе [13], показано, что пространство $\Phi_{n,2}$-инвариантных и $\Sigma_{n,2}$-инвариантных гармонических многочленов степеней $\le9$ с нулевым средним является одномерным. Найдена образующая $\Lambda({\mathbf x})$ этого пространства. Показано, что $\Sigma_{n,2}$-инвариантных гармонических многочленов десятой степени нет. Если ${\mathbf x}_0$ – корень $\Lambda({\mathbf x})$, то орбита $\Phi_{n,2}{\mathbf x}_o$ является 9-дизайном, а орбита $\Sigma_{n,2}{\mathbf x}_0$ – 11-дизайном в $2^n$-мерном евклидовом пространстве.