Идеалы Никольского и их применение к исследованию алгебр сингулярных интегральных операторов

В пространстве $L_p(\mathbb T)$, где $\mathbb T$ – единичная окружность и $1<p<\infty$, исследуется замкнутая алгебра $\mathfrak U(S_p,\Omega)$, порожденная сингулярным интегральным оператором Коши $S_p$ и операторами умножения на функции из произвольной замкнутой подалгебры $\Omega$ банаховой алгебры $L_{\infty}(\mathbb T)$. Построен предсимвол $\mathfrak{U}(S_p,\Omega)$, т.е. эпиморфизм $\mathfrak{U}(S_p,\Omega)$ на $\Omega+\Omega$, ядро которого – коммутаторный идеал $\operatorname{Com}\mathfrak{U}(S_p,\Omega)$ и в терминах предсимвола сформулированы необходимые условия фредгольмовости операторов из $\mathfrak{U}(S_p,\Omega)$. Основным инструментом при построении предсимвола является набор односторонних идеалов $J_A$ алгебры $\operatorname{End}L_p(\mathbb T)$, которые определяются по произвольной алгебре Дугласа $\mathbb A$ аналогично определению одного специального идеала, введенного Н. К. Никольским в ходе изучения алгебры тёплицевых операторов в пространстве Харди $H_2$. Изучены свойства идеалов, которые позволяют также описать идеал $\operatorname{Com}\mathfrak{U}(S_p,{\mathbb A}\cap\overline{\mathbb A})$ и получить оценки норм некоторых сингулярных интегральных операторов в фактор-пространстве $\operatorname{End}L_p(\mathbb T)/J_A$.