Гиперболическая размерность метрических пространств

Мы вводим новый квазиизометрический инвариант метрических пространств, называемый гиперболической размерностью, hypdim, который является вариантом громовской асимптотической размерности, asdim. всегда имеем $\operatorname{hypdim}\leq\operatorname{asdim}$, однако в отличие от асимптотической размерности $\operatorname{hypdim}\mathbb R^n=0$ для любого евклидова пространства $\mathbb R^n$ (в то время как $\operatorname{asdim}\mathbb R^n=n$). Этот инвариант обладает обычными свойствами размерности, такими как теоремы монотонности и произведения. Наш основной результат говорит, что гиперболическая размерность любого гиперболического по Громову пространства $X$ (с умеренными ограничениями) не меньше топологической размерности его границы на бесконечности плюс 1, $\operatorname{hypdim}X\geq\operatorname{dim}\partial_\infty{X}+1$. В качестве приложения мы получаем, что не существует квазиизометрического вложения вещественного гиперболического пространства ${\rm H}^n$ в метрическое произведение $n-1$ метрического дерева, стабилизированное любым евклидовым множителем, $T_1\times\cdots\times T_{n-1}\times\mathbb R^m$, $m\geq 0$.