Группы классов отображений и группы кос

Используя алгебраическую интерпретацию группы классов отображений $\Gamma_{g,1}$ поверхности рода $g$ с одной компонентой края, построен мономорфизм из группы кос $\mathrm{Br}_g$ из $g$ нитей в группу $\Gamma_{g,1}$. Этот мономорфизм определяет функтор моноидальных категорий, соответствующих этим семействам групп. Категория, порожденная группами классов отображений, становится категорией с заплетением. В качестве следствия это дает результат Э. Миллера о том, что классифицирующее пространство группы $\Gamma_{\infty,1}$ становится двукратным пространством петель после группового пополнения.