Оценки резольвент в алгебрах Бёрлинга–Соболева

Изучается явление невидимого спектра в коммутативных банаховых алгебрах. Точнее, рассматривается проблема оценки сверху для норм обратных элементов в весовых алгебрах Бёрлинга–Соболева $A={\mathscr Fl}^p(\mathbb Z, w)$ и ${\mathscr Fl}^p(\mathbb Z_+, w)$ положительного спектрального радиуса. Показано, что с точностью до некоторых условий регулярности веса классическая алгебра Винера абсолютно сходящихся рядов Тейлора (Фурье), аналитическая $A={\mathscr Fl}^1(\mathbb Z_+)$, или симметричная $A={\mathscr Fl}^1(\mathbb Z)$ , есть единственное исключение при оценках норм обратных элементов $\|f^{-1}\|\le c_1(\delta, A)$ в терминах минимума модуля $\delta=\inf|\hat f|$, $\|f\|\le1$ преобразований Фурье. Для аналитической алгебры Винера вычислены “критическая константа” и точная скорость роста револьвенты, что проливает новый свет на известный эффект Винера–Питта для алгебр мер. Тот же самый метод дает оценку снизу для критической константы для алгебры мер $\mathscr{M}(G)$ на любой бесконечной локально-компактной абелевой группе $G$. Для других алгебр Бёрлинга–Соболева $A$ оценивается скорость роста величины $c_1(\delta,A)$ при $\delta\to0$ в терминах весовой функции $w$. С этой целью вводятся пространство $\mathscr{D}A$, связанное с формулой Грина, и пространство его мультипликаторов $\operatorname{mult}(\mathscr{D}A)$ и доказывается, что имеет место компактное вложение $A\subset\operatorname{mult}(\mathscr{D}A)$. Получены оценки наилучших полиноминальных приближений, связанных с этим вложением. Это – решающий шаг к получению упомянутых оценок сверху для $c_1(\delta,A)$.